歪対称行列(skew symmetric matrix)
$A^T=-A$ を満たすような行列のことを「歪対称行列(skew symmetric matrix)」といいます。
より具体的には $A_{ij} = - A_{ji}$ を満たすような行列のことです。
2×2の行列の場合
$$
A =
\begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
3次元行列の場合
$$
A =
\begin{pmatrix}
0 & -c & b \\
c & 0 & -a \\
-b & a & 0
\end{pmatrix}
$$
歪対称行列と外積の関連
3×3の歪対称行列は外積と同じ働きをするため、外積の計算を行列で記述することが可能になります。
例）角速度から速度の計算
速度 $\vec{v} =
\begin{bmatrix}
v_x \\
v_y \\
v_z
\end{bmatrix}$は、以下のように角速度ベクトル： $\vec{\omega} =
\begin{bmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{bmatrix}$と 位置ベクトル： $\vec{r} =
\begin{bmatrix}
r_x \\
r_y \\
r_z
\end{bmatrix}$の外積によって求められます。
$$
\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}
$$
ここで、「角速度ベクトル$\vec{\omega}$」を「歪対称行列$\Omega$」に置き換えると下式のように **外積を行列で計算できます**
$$
\vec{v} =
\begin{bmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y \\
\omega_{z} & 0 & -\omega_{x} \\
-\omega_{y} & \omega{x} & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_x \\
r_y \\
r_z
\end{bmatrix}
=
\Omega\vec{r}
$$
[!NOTE]
「歪対称行列$\Omega$」 を外積として使用する場合、外積の計算をしているということを強調するため $[\vec{\omega}\times]$のように表記することがあります。（式の意味としては全く同じ）
$$
\vec{v} =
\Omega\vec{r}
=
[\vec{\omega}\times]\vec{r}
$$
